Главная
Советы
Как найти дифференциал. §24

Как найти дифференциал. §24

Если функция дифференцируема в точке, то её приращение можно представить в виде суммы двух слагаемых

. Эти слагаемые являются бесконечно малыми функциями при
.Первое слагаемое линейно относительно
,второе является бесконечно малой более высокого порядка, чем
.Действительно,

.

Таким образом второе слагаемое при
быстрее стремится к нулю и при нахождении приращения функции
главную роль играет первое слагаемое
или (так как
)
.

Определение . Главная часть приращения функции
в точке , линейная относительно
,называется дифференциалом функции в этой точке и обозначается dy или df (x )

. (2)

Таким образом, можно сделать вывод: дифференциал независимой переменной совпадает с её приращением, то есть
.

Соотношение (2) теперь принимает вид

(3)

Замечание . Формулу (3) для краткости часто записывают в виде

(4)

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график дифференцируемой функции
. Точки
ипринадлежат графику функции. В точкеМ проведена касательная К к графику функции, угол которой с положительным направлением оси
обозначим через
. Проведем прямыеMN параллельно оси Ox и
параллельно осиOy . Приращение функции равно длине отрезка
. Из прямоугольного треугольника
, в котором
, получим

Изложенные выше рассуждения позволяют сделать вывод:

Дифференциал функции
в точке изображается приращением ординаты касательной к графику этой функции в соответствующей её точке
.

Связь дифференциала с производной

Рассмотрим формулу (4)

.

Разделим обе части этого равенства на dx , тогда

.

Таким образом, производная функции равна отношению её дифференциала к дифференциалу независимой переменной .

Часто это отношение рассматривается просто как символ, обозначающий производную функцииу по аргументу х .

Удобными обозначениями производной также являются:

,
и так далее.

Употребляются также записи

,
,

особенно удобные, когда берется производная от сложного выражения.

2. Дифференциал суммы, произведения и частного.

Так как дифференциал получается из производной умножением её на дифференциал независимой переменной, то, зная производные основных элементарных функций, а также правила для отыскания производных, можно прийти к аналогичным правилам для отыскания дифференциалов.

1 0 . Дифференциал постоянной равен нулю

.

2 0 . Дифференциал алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций

3 0 . Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен сумме произведений первой функции на дифференциал второй и второй функции на дифференциал первой

.

Следствие . Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала

.

Пример . Найти дифференциал функции .

Решение.Запишем данную функцию в виде

,

тогда получим

.

4. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.

Определение . Функция
называется заданной параметрически, если обе переменныех и у определяются каждая в отдельности как однозначные функции от одной и той же вспомогательной переменной – параметра t :


где t изменяется в пределах
.

Замечание . Параметрическое задание функций широко применяется в теоретической механике, где параметр t обозначает время, а уравнения
представляют собой законы изменения проекций движущейся точки
на оси
и
.

Замечание . Приведем параметрические уравнения окружности и эллипса.

а) Окружность с центром в начале координат и радиусом r имеет параметрические уравнения:

где
.

б) Запишем параметрические уравнения для эллипса:

где
.

Исключив параметр t из параметрических уравнений рассматриваемых линий, можно прийти к их каноническим уравнениям.

Теорема . Если функция у от аргумента х задана параметрически уравнениями
, где
и
дифференцируемые по t функции и
, то

.

Пример . Найти производную функции у от х , заданной параметрическими уравнениями.

Решение.
.

Приложение

Решение дифференциальных уравнений онлайн на сайт для закреплеения студентами пройденного материала. И тренировки своих практических навыков. Дифференциальные уравнения онлайн. Дифуры онлайн, решение математики в режиме онлайн. Пошаговое решение математических задач онлайн. Порядок, или степень дифференциального уравнения - наивысший порядок производных, входящих в него. Дифференциальные уравнения онлайн. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Дифференциальные уравнения онлайн. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных. Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Дифференциальные уравнения онлайн. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных - произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными. Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций - часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Дифференциальные уравнения онлайн. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и т.д.. Множество перечисляемых чисел исследовать можно. Лучший ответ на поставленную задачу. Как найти в первом приближении исходящий вектор к области сходимости про Дифференциальные уравнения без выяснения найденного верхнего предела. Выбор очевиден для возрастания математических функций. Есть прогрессивный метод над уровнем исследования. Выровнять по начальному условию задачи решение дифференциальных поможет найти однозначное выбранное значение. Может быть так, что сможет неизвестную определить сразу. Как в предыдущем примере на указание решения для математической задачи, линейные дифференциальные уравнения есть ответ на поставленную конкретно задачу в указанные сроки. Локально не определено поддержание процедуры исследования. Будет так, что пример найдется для каждого студента и решение дифференциальных уравнений определит назначенный на ответственного исполнителя как минимум из двух значений. Взять на некотором отрезке функцию общего значения и предупредить по которой оси будет разрыв. Изучив дифференциальные уравнения онлайн, возможно однозначно показать на сколько важен результат, если таковой предусмотрен из начальных условий. Вырезать область из определения функции - это невозможно, так как локально нет определения по задаче. Будучи найденным из системы уравнений, ответ содержит в себе переменную, исчисляемую в общем смысле, но решить дифференциальное уравнение онлайн естественно получится без этого действия по определению сказанного условия. Рядом с промежутком отрезка видно как решение дифференциальных уравнений онлайн способно продвинуть результат исследований в положительную сторону на момент среза знаний у студентов. Лучшее не всегда получается путем общего принятого подхода к делу. На уровне двукратного увеличения можно с пользой просмотреть все необходимые линейные дифференциальные уравнения в естественном представлении, но возможность подсчитать числовое значение приведет к улучшению знаний. По любой методике в математике есть дифференциальные уравнения, которые представлены в различных по своей сути выражениях, такие как однородные или сложные. Проведя общий анализ исследования функции, станет ясно, что решение дифференциальных как множество возможностей представляет собой явную погрешность в значениях. Истинна в ней заключается в пространстве над линий абсцисс. Где-то в области определения сложной функции в некоторой точке её определения линейные дифференциальные уравнения смогут представить ответ в аналитическом виде. то есть в общем виде как суть. Не поменяется ничего при замене переменной. Однако нужно с особым интересом вглядываться в ответ. Меняет по сути калькулятор отношение в итоге, то есть как решение дифференциальных уравнений пропорционально глобальному значению обозначается в пределах искомого решения. В ряде случаев предупреждение о массовой ошибке неизбежно. Дифференциальные уравнения онлайн реализуют общее представление о задаче, но в итоге нужно как можно скорее предусмотреть положительные стороны векторного произведения. В математике не редки случаи заблуждения в теории чисел. Однозначно нужна будет проверка. Естественно лучше предоставить это право профессионалам в своем деле и решить дифференциальное уравнение онлайн помогут именно они, так как их опыт колоссальный и положительный. Разница на поверхностях фигур и площадь такова, что не решение дифференциальных уравнений онлайн позволит видеть, а множество не пересекаемых объектов таково, что линия параллельна оси. В итоге можно получить в два раза больше значений. Будучи не в явном виде, наше представление о правильности формально записи предусматривает линейные дифференциальные уравнения как в области просмотра, так и в отношении преднамеренного завышения качества результата. Несколько раз выходит в обзор решаемое на коллегии обсуждение на тему, интересную всем студентам. На протяжении всего изучения полного курса лекций, мы заострим наше пристальное внимание на дифференциальные уравнения и связные с ними области изучения науки, если тем самым не противоречить истине. Многих этапов можно избежать в начале пути. Если решение дифференциальных по-прежнему является принципиально чем-то новым для студентов, то старое вовсе не забывается, а прогрессирует в будущее с высокой скоростью развития. Изначально условия по задаче в математике расходятся, но это обозначено в абзаце справа. По истечению времени заданного по определению не исключены возможности пропорционального зависимого исхода на различных плоскостях движения вектора. Исправляется такой простой случай также как описываются линейные дифференциальные уравнения на калькуляторе в общем виде, так будет быстрее и взаимозачет расчетов не приведет к ошибочному мнению. Лишь пять названных по теории случаев могут раздвигать грани происходящего. Вручную рассчитать значение в цифрах поможет наше решение дифференциальных уравнений уже на первых этапах разложения функционального пространства. В нужных местах необходимо точку соприкосновения четырех линий представить в общем значении. Но если придется задачу вытеснить, то приравнять сложность будет просто. Исходных данных достаточно для оформления прилежащего катета и дифференциальные уравнения онлайн выглядят выровненными по левому краю и поверхность односторонняя направлена к ротору вектора. Выше верхнего предела возможны числовые значения сверх обозначенного условия. Принимать во внимание математическую формулу и решить дифференциальное уравнение онлайн за счет трех неизвестных в общем значении пропорции возможно. Локальный метод расчета признан действительным. Система координат прямоугольная в относительном движении плоскости. Общее решение дифференциальных уравнений онлайн позволяет однозначно сделать вывод в пользу расчетной прогонки сквозь матричные определения на всей прямой, расположенной выше графика заданной в явном виде функции. Решение насквозь проглядывается, если приложить вектор движения к точке соприкосновения трех полушарий. Цилиндр получается путем вращения прямоугольника вокруг стороны и линейные дифференциальные уравнения смогут показать направление движения точки по заданным выражениям её закона движения. Исходные данные верные и задача в математике взаимозаменяема при одном несложном условии. Однако в силу обстоятельств, в виду сложности постановочной подзадачи, дифференциальные уравнения упрощают процесс калькулировано числовых пространств на уровне трехмерного пространства. Легко доказать обратное, но этого возможно избежать, как в приведенном примере. В высшей математике предусмотрены следующие моменты: когда задача приводится к упрощенному виду, на неё следует распространить как можно большее усилие со стороны студентов. Взачет попадают наложенные друг на друга линии. Про решение дифференциальных по-прежнему возобновляет преимущество сказанного метода на кривой линии. Если распознать вначале не то, что нужно, то математическая формула составит новое значение выражения. Цель - оптимальный подход к решению поставленных профессором задания. Не стоит полагать, что линейные дифференциальные уравнения в упрощенном виде превзойдут ожидаемый результат. На конечно составленной поверхности разместим три вектора. ортогональные друг другу. Вычислим произведение. Проведем сложение большего числа символов и распишем из полученного выражения все переменные функции. Есть пропорция. Несколько действий, предшествующих окончанию вычисления, однозначного ответа на решение дифференциальных уравнений дадут не сразу, а только по истечению отведенного времени по оси ординат. Слева от точки разрыва, заданной в неявном виде от функции, проведем ось, ортогональную лучшему возрастающему вектору и дифференциальные уравнения онлайн расположим вдоль наименьшего граничного значения нижней грани математического объекта. Лишний аргумент присоединим в области разрыва функции. Правее от точек расположения кривой линии решить дифференциальное уравнение онлайн помогут написанные нами формулы приведения к общему знаменателю. Единственно верным подходом примем тот, что прольет свет на нерешенные задачи из теории в практику, в общем случае однозначно. Линии по направлению координат заданных точек ни разу не сомкнули крайнее положение квадрата, однако решение дифференциальных уравнений онлайн поможет в изучении математики и студентам, и нам, и просто начинающим людям в этой области. Речь идет о возможности подстановки аргумента значения во все значимые под линии одного поля. В принципе, как и следовало ожидать, наши линейные дифференциальные уравнения есть нечто обособленное в единое понятие приведенного смысла. В помощь студентам один из лучших среди аналогичных сервисов калькулятор. Пройдите все курсы и выберите оптимальный правильный для себя.

=

    Дифференциалом аргумента называется его приращение dx = ∆ x .

    Дифференциалом функции называется произведение производной на приращение аргумента dy = f ′( x )∙∆ x или dy = f ′( x )∙ dx .

Замечание:

Сравнение дифференциала с приращением.

Пусть ∆ y и ∆xодного порядка малости.

Dyи ∆xодного порядка малости, т. е.dyи ∆yодного порядка малости.

α∙∆x– бесконечно малая более высокого порядка малости, чем ∆x.

.Дифференциал есть главная часть приращения функции .

Дифференциал функции отличается от приращения функции на бесконечно малую

более высокого порядка, чем приращение аргумента.

Геометрический смысл дифференциала функции.

dy =f′(x)∙∆x=tgφ∙∆x=NT.

Дифференциал равен приращению ординаты касательной.

Свойства дифференциала.

    Дифференциал суммы равен сумме дифференциалов.

d ( u + v) = du + dv.

    Дифференциал произведения d ( u v ) = du ∙ v + u dv .

    Дифференциал сложной функции.

y = f(u), u = φ(x), dy = y′ x dx =

dy = f ′( u ) du – инвариантность формы дифференциала.

Дифференциалы высших порядков.

dy = f ′(x )∙ dx , отсюда

Гиперболические функции .

Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций.

Определения.

Из определений гиперболических функций следуют соотношения:

ch 2 x–sh 2 x= 1,sh2x= 2shx∙chx,ch2x=ch 2 x+sh 2 x,sh(α±β) =shαchβ±chαshβ.Производные от гиперболических функций.

Теорема Ролля.

Если функция f ( x ) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [ a , b ], имеет производную во всех внутренних точках этого промежутка и принимает на концах промежутка равные значения, то внутри промежутка найдется, по крайней мере, одна такая точка x = ξ, что f ′(ξ) = 0.

Геометрический смысл.

y

f (a ) = f (b ), k кас = 0.

A C B На гладкой дуге [ a , b ] найдется такая точка

f (a ) f (b ) С, в которой касательная параллельна хорде.

a ξ b x

Теорема Лагранжа (1736-1813, Франция) .

Если функция определена и непрерывна на замкнутом промежутке [ a , b ] и имеет производную во всех внутренних точках этого промежутка, то внутри этого промежутка найдется, по крайней мере, одна такая точка х = ξ, что f ( b ) – f ( a ) = f ′(ξ)∙( b – a ).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Имеем гладкую дугу АВ.

На гладкой дуге АВ найдется такая точка С, в которой касательная параллельна хорде АВ.

Доказательство. Рассмотрим функциюF (x ) = f (x ) – λ x . Подберем λ так, чтобы выполнялись условия теоремы Ролля.

    F(x) – определена и непрерывна на [a , b ], т.к. определена и непрерывна функцияf (x ),.

    F ′(x ) = f ′(x ) – λ − существует,

    Подберем λ так, чтобы выполнялись условия F (a ) = F (b ), т.е.f (a ) – λ a = f (b ) – λ b ,

По теореме Ролля найдется такая точка x = ξЄ(a , b ), чтоF ′(ξ) = 0, т.е.

Возрастание и убывание функции.

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Дифференциал (первого порядка) функции - это главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента. Дифференциал аргумента равен его приращению:
. Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента
.

Основные свойства дифференциала:

1.
, где-const.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
,
.

6. ,
. Форма дифференциала первого порядка не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. В этом состоит свойствоинвариантности формы дифференциала первого порядка .

Дифференциалом второго порядка функции
называется дифференциал от дифференциала первого порядка:
.

Аналогично определяется дифференциал третьего порядка:
.Дифференциал n -го порядка:
.

Если
и- независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:

,
,…..,
.

Если
,
, то
, где дифференцирование функциивыполняется по переменной. Это имеет место и для дифференциалов более высоких порядков.

Дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы.

Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке
.

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то
и. Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.

Абсолютная величина разности между истинным значением какой-либо величины и ее приближенным значениемназывается абсолютной погрешностью и обозначается
.

Абсолютная величина отношения абсолютной погрешности к истинному значению называется относительной погрешностью и обозначается
. Относительная погрешность обычно выражается в процентах
.

Если приращение функции заменить ее дифференциалом, то получим приближенное значение приращения
. В этом случае абсолютная погрешность равна
, а относительная погрешность будет
.

С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции , если известна абсолютная погрешностьаргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.

Пусть требуется вычислить значение функции
при некотором значении аргумента, истинная величина которого нам известна, но дано его приближенное значениес абсолютной погрешностью
,
. Тогда

Отсюда видно, что
.

Относительная погрешность функции выражается формулой

.

Пример 1. Найти дифференциал функции
.

Решение:
.

Пример 2. Найти все дифференциалы функции
.

Решение: ,

,
.

Пример 3. Найти
для неявно заданной функции
.

Решение: Функция задана неявно. Находим первую производную

, тогда
.

Вычислим вторую производную

, отсюда
.

Пример 4. Выразить дифференциал сложной функции через независимую переменную и дифференциал:
,
,
.

Решение:
.
.

Пример 5. Вычислить приближенное значение
.

Решение: Рассмотрим функцию
. Полагая
,
и применяя формулу, получим:

Пример 6. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.

Решение: Воспользуемся формулой
. Полагая
,
, имеем. Следовательно, приближенное значение площади круга составляет.

Пример 7. Для функции
найти приращение ординаты касательной и приращение функции при переходе аргументаот значения
к
.

Решение: согласно геометрическому смыслу дифференциала, приращению ординаты касательной соответствует дифференциал функции
.

При
иполучим
.

Приращение функции находим по формуле

Следовательно, приращение ординаты касательной равно 0,7, а приращение функции 0,71. Т. к.
, то.

Пример 8. Найти дифференциал и приращение функции
в точке
и
. Найти абсолютную и относительную погрешности значения функции при замене приращения функции ее дифференциалом.

Решение: Имеем:
,

При
и
получим:

, .

Абсолютная погрешность
, а относительная погрешность
.

Пример 9. При измерении сторона куба оказалась равной 4 см. При этом максимально возможная погрешность измерения
находится в пределах
см. Определить абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема куба.

Решение: Объем куба равен
см.

Возможная неточность измерения
.

Отсюда абсолютная погрешность .

Относительная погрешность
.

Пример 10. Найти приближенно
.

Решение: Полагаем
, тогда
,

Если принять
, то
,
.

Найти дифференциалы указанных порядков от функций:

1.
,
-?. Ответ:
.

2.
,
-? Ответ:
.

3.
,
-? Ответ:
.

4.
,
-? Ответ:
.

5.
,
,
,
-? Ответ:
.

,
.

6.
,
-?

7.
,
-? Ответ:
.

8.
,
-? Ответ:
.

9.

-? Ответ:
.

10.

-? Ответ:
.

11.
,
-? Ответ:
.

12.
,
-? Ответ:.

13.
,
.
-? Ответ:
,
.

14.
,
,
-?

Ответ:
,
.

15.
-?

Найти приближенное значение:

16.
. Ответ: 0,811.

17.
. Ответ: 1,035.

18.
. Ответ: 0,078.

19.
. Ответ: 1,9938.

20.
. Ответ: 2,02.

21.
. Ответ:3,03.

22.
. Ответ:
.

23.
. Ответ:
.

24.
. Ответ: 0,1.

25.
. Ответ:
.

26. Определить, на сколько приблизительно увеличится объем шара, если его радиус
см увеличить на 0,2см. Ответ: 565
.

27. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м. Ответ: .

28. Сравнить приращение и дифференциал функции
.

Ответ:
,
.

29. Вычислить
,
для функции
при
и
.

Ответ:
,
.

30. Найти приближенное значение объема шара радиуса 2,01 м.

Ответ:
.

31. Найти приближенное значение из уравнения:

Ответ:
.

32. Найти приближенно значение объема шара радиуса
.

Ответ:
.

33. Ребра куба увеличены на 1см. При этом дифференциал
объемакуба оказался равным 12 см. Найти первоначальную длину ребер. Ответ: 2 см.

34. Радиус круга увеличен на 1см. Дифференциал площади круга оказался при этом равным
см. Найти первоначальную величину радиуса. Ответ: 3 см.

35. Определить приблизительно относительную погрешность при вычислении поверхности сферы, если при определении ее радиуса относительная погрешность составила
. Ответ:
.

Советы

Вам также может понравиться